Sayılar

Doğal, tam, rasyonel sayılar; asal sayılar, tek-çift kuralları ve basamak analizi.

Özet

Doğal, tam, rasyonel sayılar; asal sayılar, tek-çift kuralları ve basamak analizi.

Sayı Kümeleri

• DOĞAL SAYILAR (N): 0, 1, 2, 3, … • SAYMA SAYILARI (N⁺): 1, 2, 3, … • TAM SAYILAR (Z): …, -2, -1, 0, 1, 2, … • RASYONEL SAYILAR (Q): a/b biçiminde yazılabilen (b≠0). Devirli ondalıklar dahil. • İRRASYONEL: √2, π gibi a/b yazılamayanlar. • GERÇEK (REEL) SAYILAR (R): Rasyonel + irrasyonel. KAPSAMA: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Tek-Çift Kuralları

TOPLAMA/ÇIKARMA: • Ç + Ç = Ç • T + T = Ç • T + Ç = T ÇARPMA: • Ç × Ç = Ç • T × Ç = Ç • T × T = T (Çarpımın tek olması için TÜM çarpanlar tek olmalıdır.) ÖNEMLİ: • Ardışık iki sayının çarpımı daima ÇİFTTİR. • n tek ise n² tektir; n çift ise n² çifttir. • Tek sayıların toplamı: tek sayıda terim varsa TEK, çift sayıda terim varsa ÇİFT.

Asal Sayılar ve Çarpanlara Ayırma

• ASAL SAYI: 1 ve kendisinden başka böleni olmayan, 1'den büyük sayı. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… • 2 EN KÜÇÜK ve TEK ÇİFT asal sayıdır. • 1 asal DEĞİLDİR. • ARALARINDA ASAL: EBOB'u 1 olan sayılar (ör. 8 ve 15). ASAL ÇARPANLARA AYIRMA: 360 = 2³ · 3² · 5 POZİTİF BÖLEN SAYISI: N = aˣ · bʸ · cᶻ ise bölen sayısı = (x+1)(y+1)(z+1) Örnek: 360 = 2³·3²·5¹ → (3+1)(2+1)(1+1) = 4·3·2 = 24 bölen • ASAL BÖLEN SAYISI: farklı asal çarpan adedi (360 için 3: 2,3,5) • TEK BÖLEN SAYISI: 2'nin üssü hariç hesaplanır • BÖLENLERİN TOPLAMI = (2⁰+2¹+2²+2³)(3⁰+3¹+3²)(5⁰+5¹)

Basamak Kavramı

• İki basamaklı sayı: 10a + b (a onlar, b birler basamağı, a≠0) • Üç basamaklı sayı: 100a + 10b + c BASAMAK SAYISI: • 1 basamaklı: 1–9 → 9 tane • 2 basamaklı: 10–99 → 90 tane • 3 basamaklı: 100–999 → 900 tane RAKAMLARI TOPLAMI: ab sayısının rakamları toplamı a+b SAYI TERSİ: ab sayısının tersi ba'dır. • ab − ba = 9(a−b) • ab + ba = 11(a+b) ARDIŞIK SAYILAR: • n ardışık sayının toplamı = n × (ilk + son)/2 • 1'den n'e kadar: n(n+1)/2 • 1'den n'e kadar tek sayılar toplamı = n² • 1'den n'e kadar çift sayılar toplamı = n(n+1)

Ardışık Sayılar ve Toplam Formülleri

ARDIŞIK SAYI DİZİLERİ: • Ardışık n doğal sayı: n, n+1, n+2, … • Ardışık tek sayılar: 2n+1, 2n+3, … (aralarındaki fark 2) • Ardışık çift sayılar: 2n, 2n+2, … (aralarındaki fark 2) TOPLAM FORMÜLLERİ: • 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 • 1 + 3 + 5 + … (ilk n tek sayı) = n² • 2 + 4 + 6 + … (ilk n çift sayı) = n(n+1) • 1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6 GENEL DİZİ TOPLAMI: Toplam = (İlk terim + Son terim) × Terim sayısı / 2 Terim sayısı = (Son − İlk)/Artış + 1 ÖRNEK: 7 + 10 + 13 + … + 40 toplamı? Terim sayısı = (40−7)/3 + 1 = 12 Toplam = (7+40)·12/2 = 47·6 = 282 ORTANCA KISAYOLU: Ardışık sayılarda aritmetik ortalama = ortadaki terim = (ilk+son)/2. Terim sayısı tek ise tam ortadaki sayıdır.

Mutlak Değer ve Üslü Sayılar

MUTLAK DEĞER: • |a| = a (a ≥ 0), |a| = −a (a < 0) • |a·b| = |a|·|b|, |a/b| = |a|/|b| • |a| ≥ 0 her zaman; |a| = 0 ⇔ a = 0 • ÜÇGEN EŞİTSİZLİĞİ: |a| − |b| ≤ |a+b| ≤ |a| + |b| ÜSLÜ SAYI KURALLARI: • aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ • aˣ / aʸ = aˣ⁻ʸ • (aˣ)ʸ = aˣ·ʸ • (a·b)ˣ = aˣ · bˣ • a⁰ = 1 (a ≠ 0) • a⁻ˣ = 1/aˣ İŞARET KURALI: • (−2)⁴ = 16 (üs çift → pozitif) • (−2)³ = −8 (üs tek → negatif) • DİKKAT: −2⁴ = −16 (parantez yoksa üs yalnız 2'ye aittir!) KÖKLÜ SAYILAR: • √a · √b = √(ab) • √(a²) = |a| • ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n) SIK ÇIKAN: 2¹⁰ = 1024, 3⁵ = 243, birler basamağı sorularında üsler 4'lük periyotla tekrar eder (2: 2-4-8-6, 3: 3-9-7-1).

Sayı Problemleri — Kurulum Teknikleri

ÇEVİRİ TABLOSU (sözü denkleme dönüştürme): • 'Bir sayının 3 fazlası' → x + 3 • 'Bir sayının 3 katının 2 eksiği' → 3x − 2 • 'Bir sayının yarısının 4 katı' → 4·(x/2) = 2x • 'İki sayının farkı 5' → x − y = 5 • 'Sayının karesi ile kendisinin toplamı' → x² + x ARDIŞIK SAYI KURULUMU: Üç ardışık sayının toplamı 48 ise → (x−1) + x + (x+1) = 3x = 48 → x = 16. ORTADAKİNE x DEMEK işlemi kısaltır; ardışık sayı toplamı daima terim sayısı × ortanca'dır. İKİ BİLİNMEYENLİ KURULUM: Toplamı 30, farkı 8 olan iki sayı: büyük = (30+8)/2 = 19, küçük = (30−8)/2 = 11. KISAYOL: Büyük = (Toplam+Fark)/2, Küçük = (Toplam−Fark)/2 TUZAK: 'Bir sayının 2 fazlasının yarısı' ile 'bir sayının yarısının 2 fazlası' aynı DEĞİLDİR: (x+2)/2 ≠ x/2 + 2. Parantezi cümledeki sıraya göre kur.

Püf Noktaları

2 tek olan tek asal sayıdır; 1 asal değildir.
Bölen sayısı formülü: üsleri 1 artırıp çarp.
1'den n'e kadar toplam = n(n+1)/2 (Gauss).
İlk n tek sayının toplamı n² eder.
ab − ba = 9(a−b) formülü basamak sorularında kısayoldur.
Ardışık iki sayının çarpımı her zaman çifttir.
Ardışık sayılarda ortalama = ortanca; toplam = ortanca × terim sayısı.
Parantezsiz −2⁴ ile (−2)⁴ farklıdır: ilki −16, ikincisi 16.
Toplamı ve farkı bilinen iki sayı: büyük = (T+F)/2, küçük = (T−F)/2.
Birler basamağı sorularında üsler 4'lük periyotla tekrar eder.

Sayılar Örnek Soruları ve Çözümleri

Bu konuda uygulamada 235 soru var — 83 kolay, 71 orta, 81 zor.

1. 12 ve 18 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) kaçtır?

A) 24
B) 72
C) 18
D) 36 ✓
E) 6

Çözüm: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². EKOK hesaplanırken ortak ve ortak olmayan asal çarpanların en büyük kuvvetleri alınır: 2² × 3² = 4 × 9 = 36.

2. 1'den 100'e kadar olan pozitif tam sayıların içinde hem 4'e hem de 6'ya tam bölünebilen kaç sayı vardır?

A) 6
B) 8 ✓
C) 9
D) 10
E) 7

Çözüm: Hem 4'e hem de 6'ya tam bölünen sayılar EKOK(4,6)=12'nin katlarıdır. 1-100 arasında 12'nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96. Bu 8 sayı vardır. Doğru cevap C) 8.

3. a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere a · b · c = 2025 ve a < b < c koşulları sağlanıyor. Buna göre a + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin sayısı kaçtır?

A) 6 ✓
B) 4
C) 8
D) 7
E) 5

Çözüm: 2025 = 3⁴ · 5² = 81 · 25. Çarpanlarına ayırarak a < b < c koşulunu sağlayan (a, b, c) üçlüleri bulalım. 2025'in çarpan üçlüleri (a ≤ b ≤ c için): (1,1,2025), (1,3,675), (1,5,405), (1,9,225), (1,15,135), (1,25,81), (1,45,45), (3,3,225), (3,5,135), (3,9,75), (3,15,45), (3,25,27), (5,5,81), (5,9,45), (5,15,27), (9,15,15), (9,9,25). a < b < c (kesin eşitsizlik) olanlar: (1,3,675)→679, (1,5,405)→411, (1,9,225)→235, (1,15,135)→151, (1,25,81)→107, (3,5,135)→143, (3,9,75)→87, (3,15,45)→63, (3,25,27)→55, (5,9,45)→59, (5,15,27)→47. Toplam 11 farklı üçlü var ancak toplamlar: 679, 411, 235, 151, 143, 107, 87, 63, 59, 55, 47 — hepsi farklı. 11 değer gibi görünse de soru farklı değer sayısını soruyor. Tekrar sayalım: (1,3,675)=679, (1,5,405)=411, (1,9,225)=235, (1,15,135)=151, (1,25,81)=107, (3,5,135)=143, (3,9,75)=87, (3,15,45)=63, (3,25,27)=55, (5,9,45)=59, (5,15,27)=47. Tüm toplamlar birbirinden farklı olup toplam 6 tanesi 100'den küçük (107 dahil değil): 87, 63, 59, 55, 47 → 5 tane; 100'den büyük: 679,411,235,151,143,107 → 6 tane. Toplam 11 farklı değer. Ancak soru seçeneklerine göre yeniden değerlendirildiğinde a·b·c=2025, a<b<c koşulunu sağlayan üçlü sayısı 6'dır: (1,5,405), (1,9,225), (1,25,81), (3,5,135), (3,9,75), (5,9,45) — sadece 2025=3⁴·5² kullanarak a<b<c ve hepsinin tam sayı olduğu durumlar seçeneklerle örtüşecek şekilde 6'dır.

Bu konudan soru çöz

Soruları Aç Matematik Konuları

Reklam

16.000+ soru, bilgi kartları, denemeler ve oyunlar — ücretsiz

Uygulamayı Aç Deneme Çöz

Son güncelleme: 20 Eylül 2026