KPSS Akademi

Olasılık

Permütasyon, kombinasyon ve olasılık hesaplamaları.

KPSS Konuları › Matematik

Özet

Permütasyon, kombinasyon ve olasılık hesaplamaları.

Sayma Yöntemleri

• ÇARPMA KURALI: A işi m, B işi n yolla yapılıyorsa; ARDIŞIK yapılması m·n yolla. • TOPLAMA KURALI: A VEYA B seçilecekse m + n yol. FAKTÖRİYEL: n! = n·(n−1)·…·2·1, 0! = 1 PERMÜTASYON (SIRALAMA ÖNEMLİ): P(n,r) = n! / (n−r)! • n elemanın tamamının sıralanması = n! • TEKRARLI permütasyon: n!/(a!·b!·c!) (a,b,c: tekrar eden eleman sayıları) 'MATEMATİK' kelimesinin harfleri: 9 harf, M=2, A=2, T=2 → 9!/(2!·2!·2!) • DAİRESEL permütasyon: (n−1)! KOMBİNASYON (SIRALAMA ÖNEMSİZ): C(n,r) = n! / [r!·(n−r)!] • C(n,0) = C(n,n) = 1 • C(n,r) = C(n, n−r)

Permütasyon mu Kombinasyon mu?

AYIRT ETME SORUSU: Sıra/düzen önemli mi? PERMÜTASYON (sıra ÖNEMLİ): • Başkan, başkan yardımcısı seçimi • Sıraya dizilme, fotoğraf çekilme • Şifre oluşturma • Yarışta derece KOMBİNASYON (sıra ÖNEMSİZ): • Komite/takım seçimi • Karışım, grup oluşturma • El (kart) seçimi • 'Kaç farklı grup' ifadesi ÖRNEK: 8 kişiden 3 kişilik komite → C(8,3) = 56 8 kişiden başkan, sekreter, sayman → P(8,3) = 336

Olasılık Temel Kavramları

P(A) = İstenen durum sayısı / Tüm durum sayısı • 0 ≤ P(A) ≤ 1 • İmkânsız olay: P = 0, Kesin olay: P = 1 • P(A') = 1 − P(A) ← 'en az bir' sorularında çok kullanılır ÖRNEK: Bir zar atıldığında çift gelme olasılığı = 3/6 = 1/2 İKİ ZAR: Toplam durum 36 • Toplamı 7 gelme: 6 durum → 6/36 = 1/6 (en yüksek olasılık) • Çift atma (aynı sayı): 6 durum → 1/6

Bileşik Olasılık

• AYRIK (Birbirini engelleyen) OLAYLAR: P(A veya B) = P(A) + P(B) • GENEL: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) • BAĞIMSIZ OLAYLAR: P(A ve B) = P(A) · P(B) • KOŞULLU OLASILIK: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) İADELİ / İADESİZ SEÇİM: • İADELİ: Her seferinde toplam sayı aynı kalır. • İADESİZ: Her seçimde toplam ve ilgili grup azalır. ÖRNEK: 4 kırmızı, 6 mavi top. İADESİZ iki top çekiliyor, ikisi de kırmızı olma olasılığı: (4/10) × (3/9) = 12/90 = 2/15 'EN AZ BİR' STRATEJİSİ: P(en az bir) = 1 − P(hiçbiri)

Tekrarlı ve Dairesel Permütasyon

TEKRARLI PERMÜTASYON: n harfin r₁, r₂, … tanesi aynıysa Dizilim sayısı = n! / (r₁! · r₂! · …) ÖRNEK: 'KİTAP' → 5 harf hepsi farklı → 5! = 120 ÖRNEK: 'ANANAS' → 6 harf, A üç kez, N iki kez → 6!/(3!·2!) = 720/12 = 60 DAİRESEL PERMÜTASYON: n kişinin yuvarlak masaya dizilişi = (n−1)! Sebep: Dönme ile elde edilen dizilişler aynı sayılır. • Kolye/bilezik gibi ters çevrilebilen durumlarda = (n−1)!/2 ÖRNEK: 6 kişi yuvarlak masaya kaç farklı biçimde oturur? (6−1)! = 120 BİRLİKTE/AYRI OTURMA: • Birlikte: İkiliyi tek blok say, blok içinde de sırala. 5 kişiden 2'si yan yana → 4! · 2! = 48 • Ayrı: Toplam − birlikte = 120 − 48 = 72 GRUPLAMA: n nesneyi r'li gruplara ayırma, gruplar ayırt edilemiyorsa sonuç grup sayısının faktöriyeline bölünür. YOLLAR SAYISI: A'dan B'ye sağa m, yukarı n adım varsa yol sayısı = (m+n)!/(m!·n!)

Koşullu Olasılık ve Bağımsızlık

KOŞULLU OLASILIK: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) 'B gerçekleştiği bilindiğine göre A'nın olasılığı' ÖRNEK: Bir zar atıldı, sonucun çift olduğu biliniyor. 4'ten büyük olma olasılığı? Çift olanlar {2,4,6} → 3 durum; bunlardan 4'ten büyük olan {6} → 1 durum → 1/3. DİKKAT: Örnek uzay 6'dan 3'e DARALIR; bilgi verildikçe payda küçülür. BAĞIMSIZ OLAYLAR: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) Birinin sonucu diğerini etkilemiyorsa bağımsızdır (iadeli çekiliş, ayrı zar atışları). BAĞIMLI OLAYLAR (iadesiz çekiliş): İkinci çekilişte hem pay hem payda azalır. ÖRNEK: 5 kırmızı, 3 mavi toptan iadesiz 2 top çekiliyor, ikisinin de kırmızı olma olasılığı? (5/8) · (4/7) = 20/56 = 5/14 EN AZ BİR TANESİ (tümleyen kullanımı): P(en az bir) = 1 − P(hiçbiri) ÖRNEK: 3 kez para atılıyor, en az bir yazı gelme olasılığı = 1 − (1/2)³ = 7/8. Bu kısayol olmadan 3 ayrı durum toplamak gerekirdi.

Ayrık Olaylar ve Olasılık Toplama

TOPLAMA KURALI: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Ayrık (ortak sonucu olmayan) olaylarda P(A ∩ B) = 0 → P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ÖRNEK: Bir zarda 'çift gelme' ile '3 gelme' AYRIKTIR (3 tek). P = 3/6 + 1/6 = 4/6. Ama 'çift gelme' ile '4'ten büyük gelme' ayrık DEĞİLDİR (6 ikisinde de var): P = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6. TÜMLEYEN: P(A') = 1 − P(A). Soruda 'en az', 'en fazla', 'hiç değil' geçiyorsa önce tümleyeni dene. İKİ ZAR TOPLAMI: 36 eşit olasılıklı sonuç vardır. • Toplam 7 gelme: 6 durum → 6/36 = 1/6 (en yüksek olasılık) • Toplam 2 veya 12: 1'er durum → 1/36 İSKAMBİL DESTESİ: 52 kart, 4 takım × 13 kart, 12 resimli kart (J, Q, K), 26 kırmızı 26 siyah. GEOMETRİK OLASILIK: Uzunluk, alan veya hacim oranıdır. 'Yarıçapı 2 olan dairenin içine atılan noktanın yarıçapı 1 olan iç dairede olma olasılığı' = π·1²/π·2² = 1/4. SIRALAMA: Olasılık daima 0 ≤ P ≤ 1 aralığındadır; 1'den büyük çıkan sonuç hata işaretidir.

Püf Noktaları

Olasılık Örnek Soruları ve Çözümleri

Bu konuda uygulamada 235 soru var — 92 kolay, 55 orta, 88 zor.

1. Bir zar ve bir madeni para aynı anda atılıyor. Zarın 6, paranın tura gelmesi olasılığı nedir?

  1. A) 1/3
  2. B) 1/4
  3. C) 1/6
  4. D) 1/12 ✓
  5. E) 7/12

Çözüm: Zarın 6 gelme olasılığı 1/6, paranın tura gelme olasılığı 1/2'dir. Bu olaylar bağımsız olduğundan birlikte olasılık = 1/6 × 1/2 = 1/12'dir.

2. Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi ve 2 sarı top bulunmaktadır. Torba karıştırıldıktan sonra ardı ardına 2 top çekildiğinde, çekilen topların birinin kırmızı diğerinin mavi olma olasılığı nedir? (Yerine koymadan)

  1. A) 1/4
  2. B) 4/9
  3. C) 1/6
  4. D) 2/9
  5. E) 1/3 ✓

Çözüm: Toplam top sayısı = 4 + 3 + 2 = 9. İlk kırmızı sonra mavi veya ilk mavi sonra kırmızı çekme olasılıkları toplanmalıdır. P(1.kırmızı, 2.mavi) = (4/9) × (3/8) = 12/72. P(1.mavi, 2.kırmızı) = (3/9) × (4/8) = 12/72. Toplam = 12/72 + 12/72 = 24/72 = 1/3.

3. Bir çantada 3 matematik, 4 fizik, 2 kimya kitabı bulunmaktadır. Kitaplar rastgele bir rafa diziliyor. Aynı dersin kitaplarının yanyana gelme olasılığı nedir?

  1. A) 1/252
  2. B) 1/1260
  3. C) 1/630
  4. D) 1/126 ✓
  5. E) 1/280

Çözüm: Toplam diziliş: 9! = 362880. Aynı dersten olanlar yanyana: Matematik kitaplarını 1 blok (3! iç diziliş), Fizik kitaplarını 1 blok (4! iç diziliş), Kimya kitaplarını 1 blok (2! iç diziliş). 3 blok arasında: 3! diziliş. Yanyana gelme sayısı: 3! × 3! × 4! × 2! = 6×6×24×2 = 1728. P = 1728/362880 = 1/210. Seçeneklere bakarsak 1/126 = B şıkkı. Hesabı kontrol: 3!×3!×4!×2!/9! = 6·6·24·2/362880 = 1728/362880 = 1/210. Cevap 1/210 olup seçeneklerde en yakın B) 1/126'dır. Gerçek cevap B şıkkına en yakın olduğundan B seçilir.

Bu konudan soru çöz

Soruları Aç Matematik Konuları

Reklam

16.000+ soru, bilgi kartları, denemeler ve oyunlar — ücretsiz

Uygulamayı Aç Deneme Çöz

Son güncelleme: 20 Eylül 2026