KPSS Akademi

EBOB - EKOK

En büyük ortak bölen, en küçük ortak kat ve uygulama problemleri.

KPSS Konuları › Matematik

Özet

En büyük ortak bölen, en küçük ortak kat ve uygulama problemleri.

Tanımlar ve Bulma

• EBOB (En Büyük Ortak Bölen / OBEB): İki veya daha fazla sayıyı tam bölen en büyük sayı. • EKOK (En Küçük Ortak Kat / OKEK): Sayıların tümüne bölünebilen en küçük pozitif sayı. ASAL ÇARPANLARLA BULMA: • EBOB: ORTAK asal çarpanların EN KÜÇÜK üsleri çarpılır. • EKOK: TÜM asal çarpanların EN BÜYÜK üsleri çarpılır. ÖRNEK: a = 2³·3·5² , b = 2²·3²·7 • EBOB(a,b) = 2² · 3 = 12 • EKOK(a,b) = 2³ · 3² · 5² · 7 = 12600

Temel Özellikler

• EBOB(a,b) × EKOK(a,b) = a × b ← EN ÇOK SORULAN FORMÜL • Aralarında asal sayılarda: EBOB = 1, EKOK = a·b • a, b'yi tam bölüyorsa: EBOB(a,b) = a, EKOK(a,b) = b • EBOB daima sayılardan KÜÇÜK veya EŞİT, EKOK daima BÜYÜK veya EŞİTTİR. • EBOB, EKOK'u tam böler. ÖRNEK SORU: İki sayının EBOB'u 15, EKOK'u 315. Sayıların farkı en az kaçtır? ÇÖZÜM: Sayılar 15a ve 15b (a,b aralarında asal). EKOK = 15ab = 315 → ab = 21 (a,b) = (1,21) → sayılar 15, 315 → fark 300 (a,b) = (3,7) → sayılar 45, 105 → fark 60 ← EN AZ

EBOB Problemleri (Bölme mantığı)

EBOB kullanılan tipik ifadeler: • 'En büyük eşit parçalara ayırma' • 'Artansız/tam olarak paylaştırma' • 'En az sayıda kutu/paket' • 'En büyük kare/küp yapma' ÖRNEK: 48 ve 72 cm'lik iki çubuk eşit ve en uzun parçalara bölünecek. EBOB(48,72) = 24 cm. Parça sayısı = 48/24 + 72/24 = 2 + 3 = 5 KALANLI DURUM: 'a sayısını böldüğünde k kalıyorsa' → (a−k) üzerinden EBOB alınır.

EKOK Problemleri (Kat mantığı)

EKOK kullanılan tipik ifadeler: • 'Aynı anda tekrar buluşma/başlama' • 'En az sayıda … gerekir' • 'Tam sayı olacak şekilde en küçük' ÖRNEK: Üç zil 12, 18 ve 24 dakikada bir çalıyor. Kaç dakika sonra birlikte çalar? EKOK(12,18,24) = 72 dakika DAİRESEL PİST: A 4 dk, B 6 dk'da tur atıyor. İlk kez aynı noktada buluşma: EKOK(4,6) = 12 dk KALANLI EKOK: 'x sayısı 4, 6, 8'e bölündüğünde 3 kalıyor' → x = EKOK(4,6,8)·k + 3 = 24k + 3

Asal Çarpan Yöntemi ve Öklid Algoritması

ASAL ÇARPAN YÖNTEMİ: • EBOB: ORTAK asal çarpanların EN KÜÇÜK üsleri çarpılır. • EKOK: TÜM asal çarpanların EN BÜYÜK üsleri çarpılır. ÖRNEK: 72 = 2³·3², 120 = 2³·3·5 • EBOB = 2³·3 = 24 • EKOK = 2³·3²·5 = 360 • Kontrol: 24 · 360 = 8640 = 72 · 120 ✓ ÖKLİD ALGORİTMASI (büyük sayılar için): Büyüğü küçüğe böl, kalanı al; kalan 0 olana kadar tekrarla. Son sıfırdan önceki bölen EBOB'tur. ÖRNEK: EBOB(1071, 462) 1071 = 462·2 + 147 462 = 147·3 + 21 147 = 21·7 + 0 → EBOB = 21 KESİRLERDE: • EBOB(a/b, c/d) = EBOB(a,c) / EKOK(b,d) • EKOK(a/b, c/d) = EKOK(a,c) / EBOB(b,d)

EBOB-EKOK Problem Kalıpları

KALIP 1 — 'En büyük parça / en çok kişi': EBOB '48 ve 60 cm'lik iki ipi eşit ve en uzun parçalara bölmek' → EBOB(48,60) = 12 cm. Parça sayısı = 48/12 + 60/12 = 9. KALIP 2 — 'En az kaç … / tekrar ne zaman buluşur': EKOK '12 ve 18 dakikada bir kalkan iki otobüs birlikte kalktıktan sonra tekrar ne zaman birlikte kalkar' → EKOK(12,18) = 36 dakika. KALIP 3 — Kalanlı bölme: '4, 5, 6 ile bölündüğünde 3 kalan en küçük sayı' → EKOK(4,5,6) + 3 = 60 + 3 = 63. KALIP 4 — Küp/kare tamamlama: 'En az kaç adet 12×18 cm'lik karo ile kare oluşur' → Kenar = EKOK(12,18) = 36 → 36/12 · 36/18 = 3·2 = 6 karo. KALIP 5 — Dikdörtgen prizmayı küpe bölme: '40×60×100 cm prizma en az kaç eş küpe ayrılır' → Küp kenarı = EBOB = 20 → 2·3·5 = 30 küp. AYIRT EDİCİ SORU: 'Bölerek küçültüyor muyuz (EBOB) yoksa katlarını arayıp büyütüyor muyuz (EKOK)?'

Aralarında Asallık ve İleri Özellikler

ARALARINDA ASAL: EBOB'u 1 olan sayılar. Ardışık iki tam sayı DAİMA aralarında asaldır. TEMEL ÖZELLİKLER: • EBOB(a,b) · EKOK(a,b) = a · b (yalnız İKİ sayı için geçerlidir, üç sayıda çalışmaz!) • a | b ise EBOB(a,b) = a ve EKOK(a,b) = b • Aralarında asal iki sayıda EBOB = 1, EKOK = a·b • EBOB(a,b) her zaman a ve b'yi böler; EKOK(a,b) her zaman a ve b'ye bölünür. • EBOB ≤ min(a,b) ≤ maks(a,b) ≤ EKOK ORANLI KURULUM: EBOB'u d olan iki sayı a = d·m, b = d·n biçiminde yazılır (m ve n aralarında asal). ÖRNEK: EBOB'u 6, EKOK'u 90 olan iki sayı? 6·m · 6·n = 6 · 90 → m·n = 15 → (m,n) = (1,15) veya (3,5) Sayılar: (6, 90) veya (18, 30). İKİ SAYI VERİLDİĞİNDE: EKOK daima EBOB'un KATIDIR. 'EBOB'u 8, EKOK'u 60' gibi bir soru tutarsızdır (60, 8'in katı değil).

Püf Noktaları

EBOB - EKOK Örnek Soruları ve Çözümleri

Bu konuda uygulamada 255 soru var — 86 kolay, 71 orta, 98 zor.

1. Üç sayının EBOB'u 5 ve EKOK'u 300'dür. Bu üç sayıdan ikisi 25 ve 60 ise üçüncü sayı kaçtır?

  1. A) 15
  2. B) 10
  3. C) 25
  4. D) 30
  5. E) 20 ✓

Çözüm: EKOK(25, 60, x) = 300 olmalıdır. 25 = 5², 60 = 2² × 3 × 5, 300 = 2² × 3 × 5². EKOK(25, 60) = 2² × 3 × 5² = 300. x de bu sayıları sağlamalı ve EBOB koşulunu bozmamalıdır. x = 20 = 2² × 5 alındığında EBOB(25, 60, 20) = 5 ve EKOK = 300 sağlanır.

2. a ve b doğal sayıları için EBOB(a, b) = 12 ve EKOK(a, b) = 180 olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A) 228
  2. B) 192
  3. C) 108
  4. D) 216
  5. E) 96 ✓

Çözüm: EBOB × EKOK = a × b olduğundan a × b = 12 × 180 = 2160. EBOB(a,b) = 12 olduğu için a = 12m, b = 12n yazılır (m ve n aralarında asal). m × n = 2160/144 = 15. 15 = 1×15 veya 3×5 olabilir. EBOB(1,15)=1 ✓ → a+b = 12×1 + 12×15 = 12 + 180 = 192. EBOB(3,5)=1 ✓ → a+b = 12×3 + 12×5 = 36 + 60 = 96. En büyük toplam 192'dir... Dikkat: seçeneklere bakıldığında 192 seçenek C'de vardır. Doğru cevap C) 192, answer:2 olmalıydı. Yeniden: (m,n) = (1,15) → a+b=192; (m,n)=(3,5) → a+b=96. En büyük değer 192'dir.

3. N = 2^a · 3^b · 5^c şeklinde yazılabilen bir sayı için EBOB(N, 360) = 60 ve EKOK(N, 360) = 1800 olduğu bilinmektedir. 360 = 2³ · 3² · 5 olduğuna göre a + b + c kaçtır?

  1. A) 7
  2. B) 5 ✓
  3. C) 6
  4. D) 4
  5. E) 8

Çözüm: 360=2³·3²·5, 60=2²·3·5, 1800=2³·3²·5². EBOB(N,360)=60=2²·3·5: her asal için min(a,3)=2 → a≤2, min(b,2)=1 → b≤1, min(c,1)=1 → c≥1. EKOK(N,360)=1800=2³·3²·5²: max(a,3)=3 → a≤3, max(b,2)=2 → b≥2 — ama EBOB'dan b≤1 çelişki! Tekrar: EKOK'tan max(b,2)=2: b≤2. EBOB'dan min(b,2)=1: b=1 ve 2≥1 ✓. max(a,3)=3: a≤3, min(a,3)=2: a=2 (çünkü a<3 ve a≥2) → a=2. max(c,1)=2: c=2, min(c,1)=1: c≥1 ✓ → c=2. Yani a=2, b=1, c=2; a+b+c=5.

Bu konudan soru çöz

Soruları Aç Matematik Konuları

Reklam

16.000+ soru, bilgi kartları, denemeler ve oyunlar — ücretsiz

Uygulamayı Aç Deneme Çöz

Son güncelleme: 20 Eylül 2026