KPSS Akademi

Denklemler

Birinci dereceden denklemler, eşitsizlikler ve mutlak değer.

KPSS Konuları › Matematik

Özet

Birinci dereceden denklemler, eşitsizlikler ve mutlak değer.

Birinci Derece Denklemler

ax + b = 0 → x = −b/a (a ≠ 0) ÇÖZÜM ADIMLARI: 1) Parantezler açılır. 2) Paydalar varsa EKOK ile genişletilir. 3) Bilinmeyenler bir tarafa, sayılar diğer tarafa toplanır. 4) Katsayıya bölünür. ÖZEL DURUMLAR: • 0·x = 0 → SONSUZ çözüm (her x) • 0·x = 5 → ÇÖZÜM YOK ÖRNEK: 3(x−2) = 2x + 4 → 3x − 6 = 2x + 4 → x = 10

Denklem Sistemleri

İKİ BİLİNMEYENLİ: ax + by = c dx + ey = f ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ: • YOK ETME: Denklemler uygun sayılarla çarpılıp toplanır/çıkarılır. • YERİNE KOYMA: Bir bilinmeyen diğeri cinsinden yazılır. ÇÖZÜM DURUMLARI: • a/d ≠ b/e → TEK çözüm • a/d = b/e = c/f → SONSUZ çözüm (aynı doğru) • a/d = b/e ≠ c/f → ÇÖZÜM YOK (paralel doğrular)

Eşitsizlikler

TEMEL KURALLAR: • Her iki tarafa aynı sayı eklenir/çıkarılır: yön DEĞİŞMEZ. • Her iki taraf POZİTİF sayıyla çarpılır/bölünür: yön DEĞİŞMEZ. • Her iki taraf NEGATİF sayıyla çarpılır/bölünür: YÖN DEĞİŞİR! −2x > 6 → x < −3 (yön değişti) ARALIK GÖSTERİMİ: • x > 3 → (3, ∞) • x ≥ 3 → [3, ∞) • 2 < x ≤ 5 → (2, 5] ÇİFT EŞİTSİZLİK: a < x < b biçiminde işlem her iki tarafa uygulanır.

Mutlak Değer

|x| = x (x ≥ 0), |x| = −x (x < 0) ÖZELLİKLER: • |x| ≥ 0 daima • |x·y| = |x|·|y| • |x/y| = |x|/|y| • |x + y| ≤ |x| + |y| (üçgen eşitsizliği) • |x|² = x² DENKLEM ÇÖZÜMÜ: |x| = a (a > 0) → x = a veya x = −a |x − 3| = 5 → x = 8 veya x = −2 EŞİTSİZLİK: • |x| < a → −a < x < a • |x| > a → x < −a veya x > a

İkinci Derece Denklemler

GENEL BİÇİM: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) DİSKRİMİNANT: Δ = b² − 4ac • Δ > 0 → iki farklı gerçek kök • Δ = 0 → çakışık (bir) kök • Δ < 0 → gerçek kök yok KÖK FORMÜLÜ: x = (−b ± √Δ) / (2a) KÖKLER TOPLAMI VE ÇARPIMI (çoğu soruda kök bulmaya gerek bırakmaz): • x₁ + x₂ = −b/a • x₁ · x₂ = c/a ÖRNEK: x² − 5x + 6 = 0 için kökler toplamı 5, çarpımı 6 → kökler 2 ve 3. KÖKLERDEN DENKLEM KURMA: x² − (toplam)·x + (çarpım) = 0 ÇARPANLARA AYIRMA KISAYOLU: c'yi çarpanlarına ayırıp toplamı −b veren ikiliyi ara. Tamsayı köklü sorularda formülden hızlıdır. ÖZDEŞLİKLER: • a² − b² = (a−b)(a+b) • (a±b)² = a² ± 2ab + b² • a³ ± b³ = (a±b)(a² ∓ ab + b²) • a² + b² = (a+b)² − 2ab (simetrik ifade sorularının anahtarı)

Denklem Sistemlerinde Çözüm Sayısı

İKİ BİLİNMEYENLİ SİSTEM: a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂ ÇÖZÜM DURUMU: • a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → TEK çözüm (doğrular kesişir) • a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → çözüm YOK (paralel doğrular) • a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → SONSUZ çözüm (aynı doğru) ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ: • YERİNE KOYMA: Bir denklemden bir bilinbeyeni yalnız bırak, diğerine koy. • YOK ETME: Katsayıları eşitleyip topla/çıkar. Katsayılar zaten yakınsa daha hızlıdır. • TOPLAMA-ÇIKARMA KISAYOLU: x + y ve x − y verilmişse toplayıp 2x, çıkarıp 2y bulunur. TAM SAYI ÇÖZÜMÜ ARANIYORSA (Diophantine): 3x + 5y = 47, x ve y pozitif tam sayı ise → y'ye 1, 2, 3… verip x'in tam çıktığı değerler taranır. y = 1 → x = 14 ✓, y = 4 → x = 9 ✓, y = 7 → x = 4 ✓. Çözüm aralığı sınırlıdır, deneme tablosu en hızlı yoldur. SORU İPUCU: 'a kaç olmalı ki sistemin çözümü olmasın' tipindeki sorular doğrudan oran şartıyla çözülür.

Eşitsizlik ve Mutlak Değerli Denklemler

EŞİTSİZLİK KURALLARI: • Her iki tarafa aynı sayı eklenir/çıkarılır, yön değişmez. • POZİTİF sayıyla çarpma/bölme: yön değişmez. • NEGATİF sayıyla çarpma/bölme: YÖN DEĞİŞİR. (−2x > 6 → x < −3) • Ters çevirmede: 0 < a < b ise 1/a > 1/b ÇARPANLARIN İŞARET TABLOSU: (x−2)(x+3) > 0 → kökler −3 ve 2. Sayı doğrusunda işaretler: (+) −3 (−) 2 (+) Çözüm: x < −3 veya x > 2 KURAL: En büyük dereceli terimin katsayısı pozitifse en sağ bölge (+)'dir, sağdan sola işaretler değişir (çift katlı kökte değişmez). MUTLAK DEĞERLİ DENKLEM: |x − 3| = 5 → x − 3 = 5 veya x − 3 = −5 → x = 8 veya x = −2 MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİK: • |x| < a ⇔ −a < x < a (içeri, aralık) • |x| > a ⇔ x < −a veya x > a (dışarı, iki kol) ÖRNEK: |2x − 1| ≤ 7 → −7 ≤ 2x−1 ≤ 7 → −3 ≤ x ≤ 4 DİKKAT: |x| = a denkleminde a < 0 ise ÇÖZÜM YOKTUR; mutlak değer negatif olamaz.

Püf Noktaları

Denklemler Örnek Soruları ve Çözümleri

Bu konuda uygulamada 251 soru var — 84 kolay, 97 orta, 70 zor.

1. Bir sayının 3 katından 5 çıkarıldığında 16 elde edilmektedir. Bu sayı kaçtır?

  1. A) 6
  2. B) 8
  3. C) 7 ✓
  4. D) 5
  5. E) 9

Çözüm: Sayı x olsun. 3x - 5 = 16 → 3x = 21 → x = 7

2. Yaşları toplamı 44 olan iki kardeşten büyüğü küçüğünden 8 yaş büyüktür. Büyük kardeşin yaşı kaçtır?

  1. A) 24
  2. B) 28
  3. C) 26 ✓
  4. D) 22
  5. E) 30

Çözüm: Küçük x, büyük x+8: 2x+8=44 → x=18. Büyük = 26. Cevap: C) 26.

3. p(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + d polinomu için p(1) = p(2) = p(3) = 0 ve p(0) = 6 olduğuna göre, p(4) kaçtır?

  1. A) 30
  2. B) 12
  3. C) 24
  4. D) 18 ✓
  5. E) 6

Çözüm: p(x) dördüncü dereceden polinom ve üç kökü var: x=1, x=2, x=3. O zaman p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-r) şeklinde yazılabilir. p(0)=(0-1)(0-2)(0-3)(0-r)=(-1)(-2)(-3)(-r)=-6·(-r)=6r=6 → r=1. Yani p(x)=(x-1)²(x-2)(x-3). p(4)=(4-1)²(4-2)(4-3)=9·2·1=18. Cevap C) 18.

Bu konudan soru çöz

Soruları Aç Matematik Konuları

Reklam

16.000+ soru, bilgi kartları, denemeler ve oyunlar — ücretsiz

Uygulamayı Aç Deneme Çöz

Son güncelleme: 20 Eylül 2026